☛ Résolution d'équations avec cosinus (1)

Énoncé

1. Résoudre sur \(]-\pi~;~\pi]\)  l'équation \(\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
2. En déduire les solutions  sur  \(\mathbb{R}\) de l'équation \(\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Solution

1. On a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique.

Les solutions sur  \(]-\pi \ ;\pi]\) de \(\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)  sont \(-\dfrac{\pi}{6}\)  et \(\dfrac{\pi}{6}\) .

2. La fonction cosinus étant \(2\pi\) -périodique, pour tout entier relatif \(k,\)

• \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  
• \(\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  

Les solutions sur \(\mathbb{R}\)  de l'équation \(\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)   sont les réels \(-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\)  et \(\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) , où  \(k\) est un entier relatif.